Введение в геометрию
План курса
О.Ю.Шведов
Подобие треугольников. Теорема Пифагора
Подобие треугольников
- Задача Менелая. Задача о пересечении медиан треугольника
- Задача об отношении, в котором биссектриса треугольника делит противоположную сторону. Задача о пересечении биссектрис
Теорема Пифагора
- Задача о высоте прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора
- Задача о высоте произвольного треугольника
- Расчет длины медианы треугольника
- Расчет длины биссектрисы треугольника
Понятие о вписанных и описанных окружностях
- Расчет положения центра и радиуса окружности, описанной около равнобедренной трапеции, равнобедренного треугольника, прямоугольного треугольника
- Касательная к окружности, ее перпендикулярность радиусу. Длина касательной к окружности, равенство двух касательных. Положение центра окружности, вписанной в угол
- Задача об окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
- Отрезки, на которые вписанная окружность разбивает стороны треугольника
- Задача об окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
- Свойство описанного четырехугольника
- Понятие о вневписанной окружности треугольника. Отрезки, на которые вневписанная окружность разбивает стороны треугольника
Площади, углы и тригонометрия
Площади
- Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции
- Связь площади многоугольника с его периметром и радиусом вписанной окружности
- Площадь треугольника и радиус вневписанной окружности треугольника
Измерение углов и дуг
- Круговой сектор; измерение его площади как способ измерения угла. Градусная и радианная мера угла. Измерение дуг
- Длина окружности и дуги окружности
- Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, треугольника; свойство внешнего угла треугольника
Взаимосвязь углов и дуг
- Угол между хордой и касательной и дуга окружности
- Угол, вписанный в окружность, угол между пересекающимися хордами (секущими), их связь с дугами
- Свойство пересекающихся хорд, свойство касательной и секущей
- Применение вспомогательной окружности для расчета длины биссектрисы треугольника
Тригонометрические функции острого угла
- Определение тригонометрических функций острого угла. Представление тангенса и котангенса через синус и косинус. Формулы приведения
- Тригонометрическое доказательство теоремы Пифагора. Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции углов в 45, 30 и 60 градусов
- Тригонометрические функции малых углов (неравенство для синуса и тангенса угла и его радианной меры; оценка синуса и тангенса малого угла)
Теоремы косинусов и синусов
- Теорема косинусов
- Теорема синусов. Выражение площади треугольника через синус угла
- Понятие косинуса и синуса тупого угла
Тригонометрические формулы сложения. Составление таблиц тригонометрических функций
- Формула сложения для синуса и косинуса. Тригонометрические функции двойного и половинного угла
- Методы составления таблиц тригонометрических функций и расчета числа "пи"
Применения тригонометрии
- Радиус описанной окружности
- Задача о длине медианы треугольника (решение на основе теоремы косинусов)
- Задача о биссектрисе треугольника (решение из теоремы синусов). Длина биссектрисы (расчет на основе теоремы косинусов, представление через косинус половинного угла)
- Формула Герона (выводы на основе теоремы косинусов и из свойств вписанной и вневписанной окружностей)
Архив курса
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 4. Подобие треугольников. Теорема Пифагора.
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 5. Площади, углы и тригонометрия.
- Приложение 2.1. Задания для разбора с преподавателем
- Приложение 2.2. Задания для самостоятельной проработки
- Приложение 2.3. Задания повышенной трудности
К обзору материалов кружка