Приветствую Вас, Гость

Геометрия в координатах

План курса

О.Ю.Шведов


Координаты и векторы на плоскости

Координаты и векторы на прямой

  • Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном отношении m:n. Координата середины отрезка
  • Понятие о векторе. Компонента вектора на оси. Равенство векторов, сложение векторов и умножение вектора на число (определение через компоненты и геометрическое определение)

Координаты и векторы на плоскости

  • Проектирование на прямую в геометрии на плоскости. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точки на плоскости. Построение и единственность точки с заданными координатами
  • Проектирование точки, делящий отрезок в данном отношении. Координаты середины отрезка
  • Вектор на плоскости и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и равенство компонент. Параллельность и равенство длин равных векторов
  • Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
  • Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)

Вычисления в методе координат

  • Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
  • Расчет косинусов углов на координатной плоскости. Понятие о скалярном произведении векторов
  • Уравнения окружности и прямой
  • Построение вектора, перпендикулярного данному. Вращение на 90 градусов по и против часовой стрелки
  • Расчет синуса угла между векторами с учетом направления и площадь треугольника на координатной плоскости

Тригонометрия ориентированных углов

  • Понятие ориентированного угла. Положительные и отрицательные ориентированные углы. Величина ориентированного угла
  • Сложение ориентированных углов. Равенство ориентированных углов, отличающихся на 360 градусов
  • Косинус и синус ориентированного угла, их расчет и изображение на координатной плоскости
  • Тригонометрические функции числа, их периодичность и (не)четность. Тангенс и котангенс
  • Формулы сложения для косинуса и синуса
  • Обратные тригонометрические функции

Основные понятия стереометрии

Параллельность в стереометрии

  • Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой AB к плоскости, плоскость через три точки не на прямой, пересечение плоскостей более чем в одной точке)
  • Простейшие следствия аксиом (пересечение плоскостей по прямой, проведение плоскости через две пересекающиеся прямые, через точку и прямую)
  • Параллельность прямых в пространстве. Построение параллельной прямой. Параллельность прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной некоторой прямой в плоскости
  • Построение проходящей через заданную точку прямой, параллельной сразу двум параллельным прямым. Свойство двух прямых, параллельных третьей
  • Сохранение величин углов при параллельном переносе

Перпендикулярность и проектирование

  • Свойство прямой, перпендикулярной двум сторонам треугольника, и медианы этого треугольника
  • Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости
  • Проектирование точки на плоскость путем последовательного проектирования на две прямые. Единственность перпендикуляра, проведенного к плоскости из данной точки
  • Проектирование точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскость
  • Проектирование точки на плоскость с использованием известного перпендикуляра к плоскости
  • Параллельность плоскостей с общим перпендикуляром. Построение общего перпендикуляра к параллельным плоскостям
  • Проектирование сначала на плоскость, а затем на прямую в ней, и проектирование сразу на эту прямую. Проектирование отрезка и его середины на прямую

Координаты и векторы в стереометрии

  • Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Построение и единственность точки с заданными координатами
  • Вектор в пространстве и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и их компонент
  • Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
  • Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)
  • Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
  • Расчет косинуса угла между векторами в пространстве. Скалярное произведение векторов в пространстве

Вычисления в стереометрии

Расстояния и углы

  • Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями и угол между их перпендикулярами
  • Поведение площадей фигур при проектировании. Расчет косинуса угла между треугольником в пространстве и координатной плоскостью
  • Построение перпендикуляра к треугольнику. Понятие о векторном произведении векторов
  • Расстояние между скрещивающимися прямыми. Метод построения общего перпендикуляра (плоскость через одну из прямых параллельно другой, проектирование на эту плоскость), единственность перпендикуляра. Векторный метод расчета расстояния
  • Построение сферы, описанной около пирамиды

Объемы и площади поверхностей

  • Формула, представляющая объем пространственной фигуры через интеграл
  • Расчет объема треугольной пирамиды. Объем многоугольной пирамиды и прямого кругового конуса. Представление объема треугольной пирамиды через скалярное и векторное произведения
  • Связь радиуса вписанной сферы с объемом и площадью поверхности многогранника
  • Объеми шарового сегмента и шара
  • Площадь боковой поверхности правильной многоугольной пирамиды, прямого кругового конуса и усеченного прямого кругового конуса
  • Площадь сегментной поверхности и сферы

Архив курса (нужен допуск-3 )
  • О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 6. Координаты и векторы на плоскости
  • О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 7. Основные понятия стереометрии
  • О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 8. Вычисления в стереометрии
  • Приложение 5.1. Задания для разбора с преподавателем
  • Приложение 5.2. Задания для самостоятельной проработки
  • Приложение 5.3. Задания повышенной трудности

К обзору материалов кружка