Геометрия в координатах
План курса
О.Ю.Шведов
Координаты и векторы на плоскости
Координаты и векторы на прямой
- Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном отношении m:n. Координата середины отрезка
- Понятие о векторе. Компонента вектора на оси. Равенство векторов, сложение векторов и умножение вектора на число (определение через компоненты и геометрическое определение)
Координаты и векторы на плоскости
- Проектирование на прямую в геометрии на плоскости. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точки на плоскости. Построение и единственность точки с заданными координатами
- Проектирование точки, делящий отрезок в данном отношении. Координаты середины отрезка
- Вектор на плоскости и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и равенство компонент. Параллельность и равенство длин равных векторов
- Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
- Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)
Вычисления в методе координат
- Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
- Расчет косинусов углов на координатной плоскости. Понятие о скалярном произведении векторов
- Уравнения окружности и прямой
- Построение вектора, перпендикулярного данному. Вращение на 90 градусов по и против часовой стрелки
- Расчет синуса угла между векторами с учетом направления и площадь треугольника на координатной плоскости
Тригонометрия ориентированных углов
- Понятие ориентированного угла. Положительные и отрицательные ориентированные углы. Величина ориентированного угла
- Сложение ориентированных углов. Равенство ориентированных углов, отличающихся на 360 градусов
- Косинус и синус ориентированного угла, их расчет и изображение на координатной плоскости
- Тригонометрические функции числа, их периодичность и (не)четность. Тангенс и котангенс
- Формулы сложения для косинуса и синуса
- Обратные тригонометрические функции
Основные понятия стереометрии
Параллельность в стереометрии
- Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой AB к плоскости, плоскость через три точки не на прямой, пересечение плоскостей более чем в одной точке)
- Простейшие следствия аксиом (пересечение плоскостей по прямой, проведение плоскости через две пересекающиеся прямые, через точку и прямую)
- Параллельность прямых в пространстве. Построение параллельной прямой. Параллельность прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной некоторой прямой в плоскости
- Построение проходящей через заданную точку прямой, параллельной сразу двум параллельным прямым. Свойство двух прямых, параллельных третьей
- Сохранение величин углов при параллельном переносе
Перпендикулярность и проектирование
- Свойство прямой, перпендикулярной двум сторонам треугольника, и медианы этого треугольника
- Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости
- Проектирование точки на плоскость путем последовательного проектирования на две прямые. Единственность перпендикуляра, проведенного к плоскости из данной точки
- Проектирование точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскость
- Проектирование точки на плоскость с использованием известного перпендикуляра к плоскости
- Параллельность плоскостей с общим перпендикуляром. Построение общего перпендикуляра к параллельным плоскостям
- Проектирование сначала на плоскость, а затем на прямую в ней, и проектирование сразу на эту прямую. Проектирование отрезка и его середины на прямую
Координаты и векторы в стереометрии
- Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Построение и единственность точки с заданными координатами
- Вектор в пространстве и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и их компонент
- Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
- Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)
- Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
- Расчет косинуса угла между векторами в пространстве. Скалярное произведение векторов в пространстве
Вычисления в стереометрии
Расстояния и углы
- Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью
- Угол между плоскостями и угол между их перпендикулярами
- Поведение площадей фигур при проектировании. Расчет косинуса угла между треугольником в пространстве и координатной плоскостью
- Построение перпендикуляра к треугольнику. Понятие о векторном произведении векторов
- Расстояние между скрещивающимися прямыми. Метод построения общего перпендикуляра (плоскость через одну из прямых параллельно другой, проектирование на эту плоскость), единственность перпендикуляра. Векторный метод расчета расстояния
- Построение сферы, описанной около пирамиды
Объемы и площади поверхностей
- Формула, представляющая объем пространственной фигуры через интеграл
- Расчет объема треугольной пирамиды. Объем многоугольной пирамиды и прямого кругового конуса. Представление объема треугольной пирамиды через скалярное и векторное произведения
- Связь радиуса вписанной сферы с объемом и площадью поверхности многогранника
- Объеми шарового сегмента и шара
- Площадь боковой поверхности правильной многоугольной пирамиды, прямого кругового конуса и усеченного прямого кругового конуса
- Площадь сегментной поверхности и сферы
Архив курса (нужен допуск-3 )
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 6. Координаты и векторы на плоскости
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 7. Основные понятия стереометрии
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 8. Вычисления в стереометрии
- Приложение 5.1. Задания для разбора с преподавателем
- Приложение 5.2. Задания для самостоятельной проработки
- Приложение 5.3. Задания повышенной трудности
К обзору материалов кружка