Введение в алгебру и анализ
План курса
О.Ю.Шведов
Введение в алгебру
Квадратный трехчлен
- Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению
- Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение квадратного уравнения
- Исследование квадратного трехчлена методом выделения полного квадрата. Минимально возможное значение квадратного трехчлена. Когда квадратное уравнение не имеет корней?
- Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического
- Исследование неравенств, содержащих квадратный трехчлен, с помощью метода интервалов
Числовые последовательности и прогрессии
- Арифметическая прогрессия: определение, n-й член, сумма первых n членов
- Геометрическая прогрессия: определение, n-й член. Степень с натуральным и нулевым показателем
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Бесконечная периодическая дробь, метод ее перевода в обыкновенную
Степени и радикалы
- Определение степени с отрицательным целым показателем
- Основные свойства степени с целым показателем (сложение и умножение показателей, умножение оснований)
- Корень n-й степени при четном и нечетном n. Возведение корня n-й степени в степень n
- Радикал произведения и степени, последовательное извлечение радикалов
- Определение степени с дробным показателем
- Равные дробные показатели и равные степени. Свойства степени с дробным показателем
Показательная функция. Логарифм
- Графики функции y=2x и y=0,5x. Общие свойства показательной
функции y(x)=ax при разных a (возрастание при a>1 и убывание
при 0
- Свойства логарифмов: логарифм произведения, степени, переход к другому основанию
- Применение логарифмов (замена умножения на сложение, возведение в произвольную степень, извлечение корней)
Элементы высшей математики
Дифференциальное исчисление. Метод Ферма исследования функций
- Как заменить криволинейный график функции прямой линией? Понятие производной
- Дифференцирование константы, суммы величин, произведения величины на константу
- Дифференцирование произведения
- Дифференцирование выражений x2, x1/2, x3 и 1/x. Общая формула для дифференцирования xn
- Дифференцирование тригонометрических функций
- Метод Ферма исследования функций на возрастание и убывание
Понятие об интеграле. Формула Ньютона-Лейбница
- Понятие об интеграле. Интеграл от константы и ступенчатой функции
- Интеграл от суммы функций, произведения функции на число
- Замена переменной в интеграле и операции над графиком функции (отражение, сдвиг, растяжение по горизонтали)
- Изменение функции и интеграл от ее производной. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение к расчету интегралов
- Замена переменной в интеграле с точки зрения формулы Ньютона-Лейбница
- Табличные интегралы (интегралы от степенной и тригонометрической функции)
Натуральный логарифм и экспонента
- Натуральный логарифм как площадь под гиперболой. Интеграл от 1/x по произвольному промежутку. Производная натурального логарифма
- Масштабирование площади под гиперболой. Натуральный логарифм произведения и степени. Значения, принимаемые натуральным логарифмом
- Определение экспоненты. Экспонента нуля. Логарифм экспоненты и экспонента логарифма. Произведение экспонент, степень экспоненты. Число e как основание натуральных логарифмов
- Дифференцирование экспоненты и степенной функции
- Неравенство для eS и 1+S. Приближенный расчет экспоненты и числа e
Комплексные числа
- Комплексные числа, их действительная и мнимая части
- Сложение и умножение комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Обращение комплексного числа
- Изображение комплексного числа на координатной плоскости. Сложение комплексных чисел и сложение векторов. Тригонометрическая запись комплексного числа, его модуль и аргумент
- Функция Эйлера. Геометрический смысл умножения комплексного числа на функцию Эйлера (поворот вектора)
- Свойства функции Эйлера при сложении аргументов --- краткая запись тригонометрических формул сложения
- Приближенный расчет значений синуса и косинуса с помощью комплексных чисел. Понятие об экспоненте мнимого числа
- Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
Архив курса
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 1. Введение в алгебру
- О.Ю.Шведов. Лекции по школьной математике. Глава 2. Элементы высшей математики
- Приложение 3.1. Задания для разбора с преподавателем
- Приложение 3.2. Задания для самостоятельной проработки
- Приложение 3.3. Задания повышенной трудности
К обзору материалов кружка